最近总是碰到群环域这些东西，抽空学习了一下，写篇博客加深印象。本文综合各种博客，百科写成。本人不是学数学出身。本文只是自己的理解。
引例 整数加法群
最常见的群之一是整数集 $\mathbb {Z}$ 和整数的加法所构成的群。它由以下数列组成：
$…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …$
群有四个公理。以上面的加法群为例。如下：
- 封闭性： 对于任何两个整数$a$和$b$，它们的和$a + b$也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。这个性质叫做在加法下封闭。
- 结合律： 对于任何整数$a$, $b$和$c$，$(a + b) + c = a +（b + c）$。用话语来表达，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。这个性质叫做结合律。
- 单位元： 如果$a$是任何整数，那么$0 + a = a + 0 = a$。零叫做加法的单位元，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
- 逆元： 对于任何整数$a$，存在另一个整数$b$使得$a + b = b + a = 0$。整数$b$叫做整数$a$的逆元，记为$−a$。
群
群的定义
群$(G,·)$是由集合$G$和二元运算$·$构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素$a$和$b$而形成另一个元素，记为$a·b$，符号$·$是具体的运算，比如整数加法。
群的四个公理
- 封闭性： 对于所有$G$中$a$, $b$，运算$a·b$的结果也在$G$中。
- 结合律： 对于所有$G$中的$a$, $b$和$c$，等式$(a·b)·c = a· (b·c)$成立。
- 单位元： 存在$G$中的一个元素$e$，使得对于所有$G$中的元素$a$，总有等式$e·a = a·e = a$成立。
- 逆元： 对于每个$G$中的$a$，存在$G$中的一个元素$b$使得总有$a·b = b·a = e$，此处$e$为单位元。
阿贝尔群
群运算的次序很重要，把元素$a$与元素$b$结合，所得到的结果不一定与把元素$b$与元素$a$结合相同；$a\cdot b=b\cdot a$(交换律)不一定恒成立。
阿贝尔群的群运算符合交换律，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合$G$和二元运算$*$构成。它除了满足一般的群公理，封闭性、结合律、单位元、逆元之外，还满足交换律公理$a*b=b*a$
因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。
群运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”，或“非交换群”。
阿贝尔群有两种主要运算符号,加法和乘法。
| 约定 | 运算 | 单位元 | 幂 | 逆元 |
|---|---|---|---|---|
| 加法运算 | $x + y$ | $0$ | $nx$ | $−x$ |
| 乘法运算 | $x * y$或$xy$ | $e$或$1$ | $x^n$ | $x^{−1}$ |
半群
半群的运算经常指示为乘号。
集合$S$和其上的二元运算$·$: $S×S \rightarrow S$。若$·$满足结合律，即：$\forall x,y,z \in S$，有$(x·y)·z=x·(y·z)$，则称有序对$(S,·)$为半群，运算$·$称为该半群的乘法。
即半群只满足群的四个公理中的封闭性和结合律。
环
环的定义
集合$R$和定义于其上的二元运算$+$和$·$，$(R, +, ·)$构成一个环，若它们满足：
- $(R, +)$形成一个交换群，其单位元称为零元，记作$0$。即：
- 封闭性： $(R, +)$是封闭的
- 结合律： $(a + b) + c = a + (b + c)$
- 单位元： $0 + a = a + 0 = a$
- 逆元： $\forall a, \exists -a$, 满足$a + −a = −a + a = 0$
- 交换律： $(a + b) = (b + a)$
- $(R, ·)$形成一个半群。即：
- 封闭性： $(R, ·)$是封闭的
- 结合律： $(a·b)·c = a·(b·c)$
- 乘法关于加法满足分配律。即：
- $a·(b + c) = (a·b) + (a·c)$
- $(a + b)·c = (a·c) + (b·c)$
就是一个交换群和一个半群的结合。环在群的基础上限制更加严格了一些。
除环
除环（division ring），又译反对称体（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。除环内必有非$0$元素，且环内所有的非$0$量都有对应的倒数（比如说，对于$x$来说，存在数$a$，使得 $a·x = x·a = 1$）。除环不一定是交换环。
换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。
也就是说，$(R, ·)$有乘法单位元，并且每个非零元素都有对应的乘法逆元。即，在环的基础上要求$(R, ·)$是群。
域
非正式的讲，域是种集合，集合中的元素可以做两种运算，”加法”： $a+b$和”乘法”： $a\cdot b$, 且要求集合中任意元素 $a$ 有加法逆元 $-a$，对所有非零元素 $b$ 有乘法逆元 $b^{-1}$ ，这种性质让我们可以用以下方法来定义加法和乘法的”反运算”，减法： $a-b$ 和除法 $a/b$
$a-b=a+(-b)$
$a/b=a\cdot b^{-1}$
在抽象代数中，域（Field）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外，“零”即加法单位元）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元之外）可以进行除法运算，这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。域中的运算关于乘法是可交换的。若乘法运算没有要求可交换则称为除环，division ring或skew field。
域的定义一
域是交换性除环。
域的定义二
域是一种交换环$(F, +, *)$，当中加法单位元$0$不等于乘法单位元$1$，且所有非零元素有乘法逆元。
域的定义三
域是个集合 $F$ 且带有加法和乘法两种运算，这里“运算”可以想成是种映射，对任意两元素 $a,b\in F$ ，这映射将此两元素对应到某元素，且这些运算满足如下性质：
- 封闭性：
- 在加法运算上封闭，对所有属于$F$的 $a, b$， $a+b$属于$F$
- 在乘法运算上封闭，对所有属于$F$的 $a, b$， $a*b$属于$F$
- 结合律：
- 加法有结合律，对所有属于$F$的 $a, b, c$， $(a+b)+c=a+(b+c)$
- 乘法有结合律，对所有属于$F$的 $a, b, c$， $(a*b)*c=a*(b*c)$
- 单位元：
- 加法单位元，在$F$中有元素$0$，使得所有 $a \in F$，$a+0=a$
- 乘法单位元，在$F$中有元素$1$，使得所有 $a \in F$，$a*1=a$
- 加法单位元$0$不等于乘法单位元$1$
- 逆元：
- 加法逆元，对所有属于$F$的 $a$，存在 $-a$ 使得 $a+(-a)=0$
- 乘法逆元，对所有属于$F$的 $a$ 且 $a \ne 0$，存在 $a^{-1}$ 使得 $a*a^{-1}=1$
- 交换律：
- 加法交换律，对所有属于$F$的 $a, b$， $a+b=b+a$
- 乘法交换律，对所有属于$F$的 $a, b$， $a*b=b*a$
- 分配律：
- 对所有属于$F$的 $a, b, c$，有$a·(b + c) = (a·b) + (a·c)$
- 对所有属于$F$的 $a, b, c$，有$(a + b)·c = (a·c) + (b·c)$
其中$0 \ne 1$的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。
由以上性质可以得出一些最基本的推论：
$−(a * b) =(−a)* b = a *(−b)$
$a * 0 = 0$
如果$a * b = 0$，则要么$a = 0$，要么$b = 0$
域在环的基础上限制更加严格了一些。